dove d vale +1 oppure -1 a seconda del tipo di isometria: +1 per quelle dirette e -1 per quelle inverse.

Una prima considerazione: cosa si intende quando si afferma che due figure sono uguali? Per esempio, due circonferenze con lo stesso raggio sono uguali? Si sarebbe portati a rispondere di sì, ma non è proprio corretto: se le due circonferenze hanno due centri diversi, esse non sono composte dagli stessi punti. Quindi non sono davvero uguali. Se prendo un foglio a quadretti e disegno, in cima alla pagina, un segmento lungo tre quadretti e, in fondo alla pagina, un altro segmento lungo tre quadretti, posso dire che sono uguali? Anche se sono composti da punti che sono tutti diversi?

In un certo senso, le due circonferenze o i due segmenti sono davvero uguali, ma si tratta di capire bene quale sia, questo certo senso. È questa l’idea che sta alla base del programma elaborato Klein.

Abbiamo costruito un gruppo di trasformazioni geometriche, le isometrie. Queste muovono, in tanti modi diversi, i punti del piano: a noi interessa capire se queste trasformazioni hanno qualcosa in comune. Detto in altri termini: a noi interessa capire quali sono gli invarianti di queste trasformazioni. E la parola isometria non è stata scelta a caso: essa ci dice quali caratteristiche vengono mantenute dalle traslazioni, dalle rotazioni, dalle simmetrie e da tutte le loro composizioni.

Le isometrie mantengono le distanze tra i punti.

Se con T indichiamo una generica isometria, la lunghezza del segmento AB è uguale a quella del segmento T(AB).

Due figure che si corrispondono in una isometria si dicono congruenti, o isometriche (o, se vogliamo, anche uguali, ma non nel senso di composte dagli stessi punti; è per questo che si tende a non usare la parola uguali in geometria). Lo studio della congruenza tra figure piane è quello che fa diventare matti gli studenti di prima superiore: la geometria che si ottiene è detta geometria euclidea (anche se negli Elementi di Euclide non compare solo questo tipo di geometria).

Si dimostra che le isometrie trasformano circonferenze in circonferenze, segmenti in segmenti, rette in rette, mantengono il parallelismo, la perpendicolarità e le ampiezze degli angoli. Insomma, godono di tutte quelle proprietà che tanto amiamo.

Ora vediamo di fare a meno di qualcuna di queste proprietà.

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Qui abbiamo una novità, rispetto alle traslazioni e alle rotazioni: l’orientazione della figura viene invertita. Se percorriamo in senso antiorario i vertici della figura rossa, vediamo che i vertici della figura blu vengono percorsi in senso orario, e viceversa. È come se la figura venisse staccata dal foglio, capovolta e poi riappoggiata: con le traslazioni e con le rotazioni questo non succedeva.

Le simmetrie assiali non formano un gruppo: se ne componiamo due, quello che risulta non è più una simmetria assiale (infatti se si varia l’orientazione due volte, è come se non si fosse fatto nulla: la composizione di due simmetrie assiali è una isometria diretta).

Per potere avere un gruppo bisogna allargare un po’ l’insieme: assieme alle simmetrie bisogna comprendere anche le isometrie dirette. Il gruppo che si ottiene è detto delle isometrie (senza specificare se sono dirette o inverse). Proviamo a descriverlo: esso contiene, come abbiamo già visto, tutte le traslazioni, le rotazioni, e le simmetrie assiali. Contiene altro? Certamente contiene le rototraslazioni, di cui abbiamo già parlato. Le simmetrie centrali contano poco: sono in realtà rotazioni di un angolo piatto intorno a un punto. C’è altro?

Sì, come combinando una rotazione e una traslazione otteniamo una trasformazione più generale, che abbiamo chiamato rototraslazione, così combinando una simmetria assiale e una traslazione si ottiene una nuova trasformazione, più generale, inversa (cioè che inverte l’orientazione). Eccone un esempio:

Una trasformazione di questo tipo si chiama glissosimmetria (astenersi dai commenti, per favore; c’è chi le chiama glissoriflessioni, chi antitraslazioni, chi simmetrie con scorrimento — a me alle superiori insegnarono il termine glissosimmetria, che quindi è Quello Giusto per definizione).

Esiste un teorema simpatico che ci fa capire come le cose non possono diventare mai troppo complicate: dice che ogni isometria è la composizione di al più 3 simmetrie assiali.

Prima di parlare del gruppo delle isometrie, col quale possiamo finalmente fare una prima geometria, facciamo ancora una considerazione sulle simmetrie assiali. Esiste un altro teorema simpatico che dice che una qualunque isometria può essere decomposta in traslazione più rotazione, se diretta, oppure traslazione più rotazione più simmetria, se inversa, dove il centro di rotazione e l’asse di simmetria possono essere scelti a piacere. Quindi, per quanto riguarda le rotazioni, non abbiamo bisogno di scriverne le equazioni per ogni centro, ma ci bastano le equazioni di quelle aventi il centro dell’origine (che abbiamo già scritto).

Per le simmetrie vale la stessa cosa: non abbiamo bisogno di scriverne le equazioni per ogni possibile posizione che può assumere l’asse di simmetria, ma ci basta una sola equazione. Prendiamo quindi quella della simmetria avente come asse di simmetria l’asse delle x; la sua matrice associata è:

Ora passiamo alle isometrie.

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