Alcuni problemi che sembrano difficili da risolvere hanno una soluzione facile se si fanno alcune considerazioni di similitudine e di dimensione.
Per esempio: gli animali di un deserto devono compiere grandi distanze tra le diverse sorgenti d’acqua. Come dipende il tempo massimo di corsa dalle dimensioni L dell’animale?
La riserva d’acqua è proporzionale al volume dell’animale (cioè a L3), la trasudazione alla sua superficie, cioè a L2. Quindi il tempo massimo di corsa da una sorgente d’acqua all’altra è proporzionale a L. In altre parole: gli animali grandi corrono per più tempo.
Altro esempio: come dipende la velocità di corsa dell’animale in un luogo pianeggiante e in montagna dalle dimensioni L dell’animale?
La potenza esercitata da un animale è proporzionale a L2; la resistenza dell’aria è proporzionale al quadrato della velocità e all’area della sezione trasversale — la potenza spesa per vincerla è proporzionale quindi a v2L2v. Quindi v3L2 deve essere proporzionale a L2, e allora v non dipende da L. In effetti la velocità di corsa in pianura per animali non più piccoli della lepre e non più grandi del cavallo non dipende praticamente dalle dimensioni.
Per correre in montagna è necessaria una potenza mgv proporzionale a L3v. Dato che la potenza esercitata è proporzionale a L2, troviamo che v è inversamente proporzionale a L. Un cane sale di corsa su un colle, un cavallo segna il passo.
Infine, come dipende dalle dimensioni dell’animale l’altezza che esso può raggiungere con un salto?
L’energia necessaria per un salto di altezza h è proporzionale a L3h, mentre il lavoro compiuto dalla forza muscolare F è proporzionale a FL. F è proporzionale a L2, dunque L3h deve essere proporzionale a L2L, e quindi h non dipende dalle dimensioni dell’animale. Effettivamente il topo delle piramidi e il canguro salto più o meno alla stessa altezza.
Tratto da V.I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, che a sua volta ha tratto da J. Smith, Idee matematiche in biologia.
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fonte: proooof.blogspot.com » Vai al post originale