“La definizione che abbiamo dato di sezione di Dedekind è sovrabbondante”.
“Cioè?”.
“A cosa ci serve specificare entrambi gli insieme della sezione? Perché definire una sezione di Dedekind con una coppia di insiemi (A,B)? Non serve, se conosciamo A è automaticamente determinato anche B. Quindi potremmo limitarci a dire che la sezione di Dedekind di un certo insieme è un insieme A, non vuoto, chiuso verso il basso, che non contiene massimo”.
“Dopo, però, non sembra più una sezione. Il lettore può rimanere disorientato nel leggere sezione e non vedere le due parti in cui l’insieme è stato sezionato”.
“E tu pensi che ai Veri Matematici importi qualcosa del disorientamento di chi legge?”.
“Ah, già. Non ci avevo pensato”.
“Qualche maligno potrebbe pensare che il limitare la definizione di sezione di Dedekind al solo primo insieme potrebbe essere una complicazione voluta, perché in fondo non è un gran spreco di tempo e di spazio specificare anche il secondo insieme”.
“Ma noi non siamo maligni”.
“Infatti. Anche perché io ti ho prima dato la definizione con i due insiemi, e solo adesso ti sto dicendo che possiamo evitare di specificare il secondo”.
“La tua maestria didattica mi sbalordisce”.
“Uhm”.
“Ma vai pure avanti, pendo dalle tue labbra”.
“Mh. Allora, ci sarebbero da definire le operazioni tra numeri reali”.
“Eh, dato che i numeri reali sono determinati da una coppia di insiemi — anzi, da un unico insieme, ma pur sempre un insieme contenente infiniti valori — non deve essere facile”.
“Più che altro è noioso. Utilizziamo, per evitare un po’ di noia, la notazione con un unico insieme. Cosa significa sommare due numeri x e y?”.
“Cosa significa?”.
“Ricordiamo che x è associato a una sezione di Dedekind, indichiamola con X”.
“E allora indichiamo con Y la sezione di Dedekind relativa a y”.
“Bene. Allora x+y è definito come la sezione di Dedekind formata dal seguente insieme:”.
{x+y | x∈X, y∈Y}
“Ehm, dunque… L’insieme formato da tutte le possibili somme tra un elemento di X e uno di Y?”.
“Esatto. Si somma tutto e si ottiene una nuova sezione di Dedekind”.
“Siamo sicuri che l’insieme che si ottiene sia una sezione di Dedekind?”.
“Bella domanda. Te la lascio come esercizio, però”.
“Mh, vabbé. Si fa così anche la moltiplicazione?”.
“Sì, però c’è il problema dei segni che complica ulteriormente le cose. Quindi si parte considerando due numeri x e y positivi, e si definisce il loro prodotto come quel numero associato alla seguente sezione:”.
{xy | x∈X, x≥0, y∈Y, y≥0} ∪ {a∈Q, a